Question

定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R，都有f（x1+x22）≤f(x1)+f(x2)2，则称函数f（x）是

Answer 1

解题思路：（1）运用作差法，化简整理，再由新定义，即可得证；

（2）求出对称轴，讨论与区间的关系，运用单调性，即可得到最小值g（a），再由分段函数的值域可得．

（1）证明：∵f（

x1+x2

2）=a（

x1+x2

2）²+

x1+x2

2，

[1/2][f（x₁）+f（x₂）]=[1/2]（ax₁²+x₁+ax₂²+x₂），

∴f(

x1+x2

2)−

1

2(f(x1)+f(x2))＝a(

x1+x2

2)2+

x1+x2

2−

1

2(a

x21+x1+a

x22+x2)

=−a(

x1+x2

2)2，

∵a＞0，∴−a(

x1+x2

2)2≤0，

即f（

x1+x2

2）≤[1/2][f（x₁）+f（x₂））

∴函数f（x）是凹函数．

（2）对于函数y＝ax2+x，其对称轴是x＝−

1

2a＜0

①当−

1

2a≤−1，即0＜a≤

1

2，此时f（x）_min=f（-1）=a-1

②当−1＜−

1

2a＜0，即a＞

1

2，此时f(x)min＝f(−

1

2a)＝−

1

4a

综上：g(a)＝

a−1，0＜a≤

1

2

−

1

4a，a＞

1

2，

由分段函数的图象可知，

g（a）的值域为（-1，0）．

点评：

本题考点： 函数单调性的性质．

考点点评： 本题考查新定义理解和运用，考查二次函数在闭区间上的最值，注意对称轴和区间的关系，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．