解题思路:设直线方程联立消元后,根据3-4k2=0,或3-4k2≠0且△=0求得k,可得直线方程.
设过点(0,3)的直线l,与双曲线
x2
4-
y2
3=1只有一个公共点的直线为y=kx+3.
代入双曲线方程,消去y整理得(3-4k2)x2-24kx-48=0,
当3-4k2≠0时,△=(24k)2+4×48(3-4k2)=0,
解得k=±
3;
当3-4k2=0时,k=±
3
2,与渐近线平行也成立.
故过点(0,1)与双曲线x2-y2=1有且只有一个公共点的直线有4条.
且方程为y=±
3x+3或y=±
3
2x+3.
点评:
本题考点: 双曲线的简单性质.
考点点评: 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题,突出考查了分类讨论的应用,考虑双曲线的问题,不要忽视渐近线,属中档题和易错题.