Question

高一立体几何中的最值题 如果一个正四棱锥的表面积和体积在数值上相等,求该四棱锥的体积的最小值.

Answer 1

设底边棱长为a,高为h

则表面积S=2a²+4a h ,体积 V= a²h

而S=V,则2a²+4a h= a²h,则a=4 h /（h-2）,而4 h /（h-2）＞0,h＞2

所以V=[4 h /（h-2）] ²（h）

所以V′=16h(h-6)/(h-2)^3

当V′=0时,h=6

当h∈（2,6]时,V′＜0,则关于h的函数V是减函数

而h∈（6,+∞）时V′＞0,则关于h的函数V是增函数

即仅当h=6时,V取得最小值,即Vmin=216

此时a=4 h /（h-2）=6