解题思路：（1）连接OA，根据等腰三角形性质和已知求出∠ABE=∠BAO=∠PAE，求出∠BAE=∠PAO=90°，根据切线判定推出即可．
（2）设CE=x，AC=2x，证△ACB∽△ECA，求出BC=4x，求出OA=OE=2.5x，在Rt△PAO和Rt△PCA中，由勾股定理得出PA2=PC2+AC2=PO2-OA2，得出方程，求出x即可．
（3）求出∠EAC=∠AFE，∠AEF=∠AEG，推出△EAG∽∠EFA，得出[AE/EG]=[EF/AE]，即可得出答案．
（1）直线PA为⊙O的切线，
证明：连接OA，
∵OA=OB，
∴∠ABE=∠BAO，
∵∠PAE=∠ABE，
∴∠PAE=∠BAO，
∴∠PAE+∠OAE=∠BAO+∠OAE，
∴∠BAE=∠PAO，
∵BE是⊙O直径，
∴∠BAE=90°，
∴∠PAO=90°，
∴OA⊥PA，
∵OA为半径，
∴直线PA为⊙O的切线；
（2）∵AC⊥BE，
∴tan∠EAC=[1/2]=[CE/AC]，
∴设CE=x，AC=2x，
∵AC⊥BE，∠BAE=90°，
∴∠ACE=∠BAE=90°，
∴∠BAC+∠EAC=90°，∠EAC+∠AEC=90°，
∴∠BAC=∠AEC，
∵∠ACE=∠ACB=90°，
∴△ACB∽△ECA，
∴[AC/BC]=[CE/AC]，
∵CE=x，AC=2x，
∴BC=4x，
∴BE=x+4x=5x，
∴OA=OE=2.5x，
∵在Rt△PAO和Rt△PCA中，∠ACP=∠PAO=90°，由勾股定理得：PA2=PC2+AC2=PO2-OA2，
∴（4+x）2+（2x）2=（4+2.5x）2-（2.5x）2，
5x2-12x=0，
x1=0（舍去），x2=[12/5]，
∴OA=2.5x=2.5×[12/5]=6，
即⊙O的半径的长是6；
（3）证明：∵AC⊥BE，
∴∠BAE=∠ACE=90°，
∴∠EAC+∠AEC=90°，∠ABE+∠AEC=90°，
∴∠ABE=∠EAC，
∵∠ABE=∠AFE，
∴∠EAC=∠AFE，
∵∠AEF=∠AEG，
∴△EAG∽∠EFA，
∴[AE/EG]=[EF/AE]，
∴AE2=EG•EF．
点评：
本题考点： 圆的综合题．
考点点评： 本题考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，三角形的内角和定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．