我们记f_n (x)=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!（这里的_是下标）.（-）inf表示（负）无穷.
显然0对于任意n不会是f_n (x)=0的解.
当k=0,1的时候显然成立.
当k=n时结论成立.
对于k=n+1：
如果n+1是奇数,且f_(n+1) (-inf)=-inf,f_(n+1) (+inf)=+inf,且f_(n+1) (x) 的导数为f_n (x),由归纳假设f_n (x)没有实数根, f’_(n+1) (x)>0 ,所以由此f_(n+1) (x) 单调,所以它只有一根.
如果n+1是偶数,同样对f_(n+1) (x) 求导,f_(n+1) (x) 的导数为f_n (x),由归纳假设此时f_n (x)有一个根m,那么
f_(n+1) (x) 先递减再递增.f_(n+1) (m) =m^(n+1)/(n+1)! +f_n (m) =m^(n+1)/(n+1)!>0（
这里m是非零,n+1为偶数）,所以f_(n+1) (x)大于零恒成立.所以结论仍然成立.
综上：1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!=0当n为奇数时有唯一实根,当n为偶数时没有实根.