Question

已知数列{log2(an−1)}(n∈N+)为等差数列，且a1=3，a2=5，则[1a2−a1+1a3−a2+…+1an

Answer 1

解题思路：令b_n=log₂（a_n-1），（n∈N⁺），依题意可求得b_n=n，于是可得a_n=2ⁿ+1，从而可求得

1

a

n+1

−

a

n

=

1

2

n

，利用等比数列的求和公式即可得到答案．

令b_n=log₂（a_n-1），（n∈N⁺），依题意{b_n}为等差数列，

∵a₁=3，a₂=5，

∴b₁=log₂（3-1）=1，b₂=log₂（5-1）=2，

∵{b_n}为等差数列，设其公差为d，则d=1，

∴b_n=n，

∴a_n=2ⁿ+1，

∴

1

an+1−an]=

1

(2n+1+1)−(2n+1)=[1

2n，

显然{

1

2n}是首项为

1/2]，公比为[1/2]的等比数列，

∴[1

a2−a1+

1

a3−a2+

1

a4−a3+…+

1

an+1−an=

1/2]+[1

22+

1

23+…+

1

2n

=

1/2(1−(

1

2)n)

1−

1

2]=1-(

1

2)n．

故选C．

点评：

本题考点： 数列的求和．

考点点评： 本题考查数列的求和，根据题意求得an=2n+1是关键，考查等比数列的求和公式的应用，属于中档题．