已知有穷数列{an},{bn}对任意的正整数n∈N*都有a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1

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  • 解题思路:(1)根据等差数列的性质求得数列{an}的通项公式,代入a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=2n+1-n-2中,利用错位相减法求得bn=[1/a]2n-1,进而推断数列{bn}是首项为[1/a],公比为2的等比数列.

    (2)同(1)得

    a

    n

    2−q

    b

    ×

    2

    n

    +

    q−1

    b

    ×n+

    q−2

    b

    ,结合q=2及等差数列的通项公式可求.

    (1){an}是等差数列,且首项和公差相等,设首项和公差为a,数列{an}的通项公式是an=na,

    ∵a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=2n+1-n-2,

    ∴abn+2abn-1+3abn-2+…+(n-1)ab2+nab1=2n+1-n-2①,

    ∴abn-1+2abn-2+…+(n-2)ab2+(n-1)ab1=2n-n-1②,

    ①-②得,

    a(bn+bn-1+••+b2+b1)=2n-1,

    bn=[1/a]×2n-1,数列{bn}是首项为[1/a],公比为2的等比数列.

    (2){an}是等差数列,设首项为a,公差为d,an=a+(n-1)d,

    {bn}是等比数列,设首项为b,公比为q,则bn=bqn-1

    bqn-1a1+bqn-2a2+bqn-3a3+…+bqan-1+ban=2n+1-n-2,

    又bqn-2a1+bqn-3a2+bqn-4a3+…+ban-1=2n-n-1(n≥2),

    故(2n-n-1)q+ban=2n+1-n-2,

    ∴an=

    2−q

    b×2n+

    q−1

    b×n+

    q−2

    b,

    ∴an+1-an=[2−q/b×2n+

    q−1

    b],

    ∵{an}是等差数列,

    ∴q=2,d=[1/b],

    ∴anbn=n•2n-1

    点评:

    本题考点: 等比关系的确定;数列的求和.

    考点点评: 本题主要考查等差数列、等比数列通项公式及由数列的“和”转化为“项”的综合应用,考查运算能力和推理论证能力.解题中体现了分类讨论的思想在解题中的应用.