Question

已知椭圆C： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b＞0) 的长轴长为4，F 1 ，F 2 分别为其左、右焦点

Answer 1

（Ⅰ）由抛物线y ²=-4x的焦点为F ₁（-1，0）可知c=1，

∵2a=4∴a=2，∴b ²=a ²-c ²=3

所以椭圆C的方程为：

x 2

4 +

y 2

3 =1 …（4分）

（Ⅱ）因为过点F ₁（-1，0）的直线与椭圆C交于P，Q两点，

可设直线l方程为：x=my-1，P（x ₁，y ₁），Q（x ₂，y ₂），则

x=my-1

x 2

4 +

y 2

3 =1 ，得（4+3m ²）y ²-6my-9=0，∴

y 1 + y 2 =

6m

3 m 2 +4

y 1 y 2 =-

9

3 m 2 +4

所以S △ F 1 PQ =

1

2 |F ₁F ₂||y ₁-y ₂|=

12

m 2 +1

3 m 2 +4 ，

令

m 2 +1 =t，则t≥1，所以S △ F 1 PQ =

12

3t+

1

t

而3t+

1

t 在[1，+∞）上单调递增，

所以S △ F 1 PQ =

12

3t+

1

t ≤3，当t=1时取等号，

即当m=0时，△F ₂PQ的面积最大值为3…（8分）