令f(x)=x^3+px+q,则f'(x)=3x^2+p.
当且仅当：f'(x)与f(x)有公因子时,f(x)有重根.
f'(x)与f(x)有公因子的充要条件是【辗转相除余数为0】.
f(x)=x^3+px+q 除以 f'(x)=3x^2+p,余式为r1(x)=(2/3)px+q.
f'(x)=3x^2+p 除以 r(x)=(2/3)px+q,余数为r0=p+27*(q^2)/[4*(p^2)].
因此f(x)有重根的充要条件为4p^3+27q^2=0.
【注】以上讨论没有规定数域,若规定为实数域,
则结论为“f(x)有重根的充要条件为：p＜0,4p^3+27q^2=0”.