利用数学归纳法：
当 n=1时,a^2 + a+1 显然被 a^2 + a+1整除.
假设 当 n= k 时,命题成立.即
a^ (k+1) + (a+1) ^(2k-1) 被 a^2 + a+1 整除.
当 n= k+1 时,
a^ (k+2) + (a+1) ^(2k+1)
=a* a^(k+1) + (a+1)^2 * (a+1) ^(2k-1)
=a* a^(k+1) + (a^2 +2a +1) *(a+1)^ (2k-1) （重新组合,要注意一定要用假设.）
=a[ a^(k+1) + (a+1)^ (2k-1)] + (a^2 +a+1)* (a+1)* (2k-1)
由假设知：a[ a^(k+1) + (a+1)^ (2k-1)] 被 a^2 + a+1 整除.
又 (a^2 +a+1)* (a+1)^ (2k-1) 被 a^2 + a+1 整除.
所以对于 任意正整数,命题成立.