证明：设存在正整数解使得a²+b²=c²,a²-b²=d²
不妨假设(a,b)=1,否则等式两边可以同时约去(a,b)²
∴总可以使(a,b)=1.
且在所有这样的正整数解中选取使得b最小的那组解.
而(b,d)|(b²+d²)=a²,∴(b,d)=1
又2a²=c²+d²,两边模4可知a,c,d均只能为奇数
∴b为偶数,d为奇数.那么由费马方程的通解可知
a²+b²=c²和d²+b²=a²的全部正整数解可表示为
a=x²-y²,b=2xy,c=x²+y²,其中x>y>0,(x,y)=1,x,y一奇一偶
d=m²-n²,b=2mn,a=m²+n²,同样m>n>0,(m,n)=1,m,n一奇一偶
∴xy=mn,且x²-y²=m²+n²
设p=(x,m),则有x=pt,m=pu,(t,u)=1
而ty=un,∴u|y,设y=vu,则n=tv
则(pt)²=(pu)²+(tv)²+(vu)²
=>t²(p²-v²)=u²(p²+v²),∵(t,u)=1
∴t²|(p²+v²),记p²+v²=kt²
则p²-v²=ku²,∴k(t²+u²)=2p²,k(t²-u²)=2v²
∴k|2p²,k|2v²,又(p,v)|(pt,vu)=(x,y)=1,∴(p²,v²)=1
∴存在整数f,g使得fp²+gv²=1,∴k|2(fp²+gv²)=2
即k=1或2.若k=1,则p²+v²=t²,p²-v²=u²,这里(p,v)=1
而v=y/u≤yp²=t²+u²,v²=t²-u²,这里(t,u)=1
且u=y/v≤y