Question

（文科）已知数列{a n }的首项a 1 =1，前n项和为S n ，且a n+1 =2S n +2 n -1（nϵN *

Answer 1

（1）证明：∵a _n+1=2S _n+2 ⁿ⁺¹-1（n≥1），

当n≥2时，a _n=2S _n-1+2 ⁿ-1，两式相减得a _n+1=3a _n+2 ⁿ（n≥2）．

从而b _n+1=a _n+1+2 ⁿ⁺¹=3a _n+2 ⁿ+2 ⁿ⁺¹=3（a _n+2 ⁿ）=3b _n（n≥2）．

∵S ₂=3S ₁+2 ²-1，即a ₁+a ₂=3a ₁+3，∴a ₂=2a ₁+3=5，

∴b ₂≠0，b _n≠0，

∴

b 2

b 1 =

a 2 +4

a 1 +2 =

9

3 =3 ．故

b n+1

b n =3 （n=1，2，3…）

∴数列{b _n}是公比为3，首项为3的等比数列．

（2）由（1）知，b _n=3•3 ^n-1=3 ⁿ，b _n=a _n+2 ⁿ得a _n=3 ⁿ-2 ⁿ，

∴ c n =

2 n

(1+ 3 n - a n )(1+ 3 n+1 - a n+1 ) =

2 n

(1+ 2 n )(1+ 2 n+1 ) ，

则 c n =

2 n

(1+ 2 n )(1+ 2 n+1 ) =

1

1+ 2 n -

1

1+ 2 n+1 ．

∴ c 1 + c 2 +…+ c n =

1

1+ 2 1 -

1

1+ 2 2 +

1

1+ 2 2 -

1

1+ 2 3 +…+

1

1+ 2 n -

1

1+ 2 n+1

=

1

3 -

1

1+ 2 n+1 ．