Question

已知数列{an}中，a1=[2/3]，且an+1=（1+[12n）an+1n2（n≥2，n∈N+），bn=（1+n）

Answer 1

解题思路：（1）用数学归纳法证明即可；

（2）利用分析法进行证明即可．

证明：（1）用数学归纳法证明：①当n=2时，有a₂=（1+[1/2]）a₁+1=2，a_n≥2成立；

②假设n=k时，有a_k≥2，则当n=k+1时，有a_k+1=（1+[1

2k）a_k+

1

k2，

由a_k≥2，得a_k+1=（1+

1

2k）a_k+

1

k2≥2+

2

2k−1+

1

k2＞2，

所以a_k+1≥2．

由①②可知：当n≥2时，有a_n≥2成立．

（2）要证明b_n＜e成立，只需证(1+n)

1/n]＜e，即ln（1+n）＜n，

当x＞0时，考查函数f（x）=ln（x+1）-x，有f′（x）=[1/1+x]，易知f′（x）＜0，

∴f（x）=ln（x+1）-x在（0，+∞）上是单调递减函数．

∴f（x）＜f（0）=0．则有ln（x+1）-x＜0，∴ln（x+1）＜x成立，

此时有ln（n+1）＜n，则有(1+n)

1

n＜e得证，∴b_n＜e．

点评：

本题考点： 数列与函数的综合；数列递推式．

考点点评： 本题考查数学归纳法、分析法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．