解题思路:(1)在题目给出的数列递推式中,分别取n=1,2,得到a2和a1,a3和a1的关系,结合a1,a2+5,a3成等差数列即可列式求得a1的值;
(2)在数列递推式中,取n=n+1得到另一递推式,作差后得到
a
n+2
=3
a
n+1
+
2
n+1
,验证可知n=1时该等式成立,由此得到
a
n+1
+
2
n+1
=3(
a
n
+
2
n
)
.说明数列{
a
n
+
2
n
}为等比数列,由等比数列的通项公式求得
a
n
+
2
n
,则数列{an}的通项公式可求.
(1)在2Sn=an+1-2n+l+1中,
令n=1得:2S1=a2-22+1,即a2=2a1+3 ①
令n=2得:2S2=a3-23+1,即a3=6a1+13 ②
又2(a2+5)=a1+a3 ③
联立①②③得:a1=1;
(2)由2Sn=an+1-2n+l+1,得:
2Sn+1=an+2-2n+2+1,
两式作差得an+2=3an+1+2n+1,
又a1=1,a2=5满足a2=3a1+21,
∴an+1=3an+2n对n∈N*成立.
∴an+1+2n+1=3(an+2n).
∴an+2n=3n.
则an=3n-2n.
点评:
本题考点: 数列递推式.
考点点评: 本题考查数列递推式,考查了等比关系的确定,考查了学生的计算能力,是中档题.