Question

已知F1、F2是双曲线 x2/a2- y2/b2=1（a＞0,b＞0）的两个焦点,以线段F1F2为底边作等腰直角三角mf

Answer 1

以线段F1F2为底边作等腰直角三角mf1f2

根据对称关系点M必定在y轴上,设M坐标为(0,y)

∵ F1(-c,0) F2(c,0)

∴Kmf1*Kmf2=-1

y/c * y/(-c)=-1

y^2=c^2

y=c

∴M坐标是(0,c)

∴M F1中点坐标是(-c/2, c/2)

∵在双曲线上,

∴代入方程得

c2/a2-c2/b2=1

c2(b2-a2)/a2b2=1

c2(b2-a2)=a2b2

c2(c2-a2-a2)=a2(c2-a2)

c4-2a2c2=a2c2-a4

c4-3a2c2+a4=0

c4/a4-3c2/a2+1=0

e4-3e2+1=0

e2=3/2+√5/2 或e2=3/2-√5/2 (舍去,∵e>1 ∴e2>1)

e=√(3/2+√5/2)