Question

已知函数f（x）=x2+2x，若存在实数t，当x∈[1，m]时，f（x+t）≤3x恒成立，则实数m的最大值为______

Answer 1

解题思路：由当x∈[1，m]时，f（x+t）≤3x恒成立，即设g（x）=f（x+t）-3x≤0恒成立，即要求g（1）≤0且g（m）≤0，解出t的范围，讨论m的取值即可得到m的最大值．

设g（x）=f（x+t）-3x=x²+（2t-1）x+（1+t）²-1，

由题值f（x+t）-3x≤0恒成立

即g（1）≤0且g（m）≤0分别解得：

t∈[-4，0]，m²+（2t-1）m+（t+1）²-1≤0，

即当t=-4时，得到m²-9m+8≤0，解得1≤m≤8；当t=0时，得到m²-m≤0，解得0≤m≤1

综上得到：m∈（1，8]，所以m的最大值为8

故答案为：8．

点评：

本题考点： 函数的最值及其几何意义．

考点点评： 考查学生理解函数恒成立时取条件的能力．灵活运用二次函数求最值的方法的能力，考查分析解决问题的能力和运算能力．属中档题．