如图,点C为线段AB上一点,△ACM、△CBN是等边三角形,直线AN、MC交于点E,直线BM、CN交于点F.

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  • 解题思路:(1)可通过全等三角形来得出简单的线段相等,证明AN=BM,只要求出三角形ACN和MCB全等即可,这两个三角形中,已知的条件有AC=MC,NC=CB,只要证明这两组对应边的夹角相等即可,我们发现∠ACN和∠MCB都是等边三角形的外角,因此它们都是120°,这样就能得出两三角形全等了.也就证出了AN=BM.

    (2)我们不难发现∠ECF=180-60-60=60°,因此只要我们再证得两条边相等即可得出三角形ECF是等边三角形,可从EC,CF入手,由(1)的全等三角形我们知道,∠MAC=∠BMC,又知道了AC=MC,∠MCF=∠ACE=60°,那么此时三角形AEC≌三角形MCF,可得出CF=CE,于是我们再根据∠ECF=60°,便可得出三角形ECF是等边三角形的结论.

    (3)判定结论1是否正确,也是通过证明三角形ACN和BCM来求得.这两个三角形中MC=AC,NC=BC,∠MCB和∠ACN都是60°+∠ACB,因此两三角形就全等,AN=BM,结论1正确.如图,当把MC逆时针旋转90°后,AC也旋转了90°,因此∠ACB=90°,很显然∠FCE>90°,因此三角形FCE绝对不可能是等边三角形.

    证明:(1)∵△ACM,△CBN是等边三角形,

    ∴AC=MC,BC=NC,∠ACM=60°,∠NCB=60°,

    在△CAN和△MCB中,

    AC=MC

    ∠ACN=∠MCB

    NC=BC,

    ∴△CAN≌△MCB(SAS),

    ∴AN=BM.

    (2)∵△CAN≌△MCB,

    ∴∠CAN=∠CMB,

    又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB=180°-60°-60°=60°,

    ∴∠MCF=∠ACE,

    在△CAE和△CMF中,

    ∠CAE=∠CMF

    CA=CM

    ∠ACE=∠MCF,

    ∴△CAE≌△CMF(ASA),

    ∴CE=CF,

    ∴△CEF为等腰三角形,

    又∵∠ECF=60°,

    ∴△CEF为等边三角形.

    (3)连接AN,BM,

    ∵△ACM、△CBN是等边三角形,

    ∴AC=MC,BC=CN,∠ACM=∠BCN=60°,

    ∵∠ACB=90°,

    ∴∠ACN=∠MCB,

    在△ACN和△MCB中,

    AC=CM

    ∠ACN=∠MCB

    BC=CN,

    ∴△ACN≌△MCB(SAS),

    ∴AN=MB.

    当把MC逆时针旋转90°后,AC也旋转了90°,因此∠ACB=90°,很显然∠FCE>90°,因此三角形FCE绝对不可能是等边三角形,

    即结论1成立,结论2不成立.

    点评:

    本题考点: 全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质.

    考点点评: 本题主要考查了等边三角形的性质,全等三角形的性质和判定等知识点,利用全等三角形来得出角和边相等是解题的关键.