Question

一定非要是正交阵才能做对角阵与对称阵相似的相似变换矩阵吗?

Answer 1

当然不一定

实对称矩阵可以正交对角化

这个定理的意思是说不仅存在P使得P^{-1}AP=D,并且还可以额外地找到正交阵P来实现对角化,但并不是说这里的P只能是正交阵

一个简单的例子

A=

41 12

12 34

D=

25 0

0 50

你可以取正交阵

P=

3/5 4/5

-4/5 3/5

来实现对角化P^{-1}AP=D

当然也可以取一个非正交阵

P=

3 8

-4 6

来实现对角化P^{-1}AP=D