Question

已知二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m，n，且|m|+|n|≤1．设满足上述要求的b的最大

Answer 1

解题思路：先根据根与系数的关系得出m+n=-a，mn=b，再由|m|+|n|≤1得出|m+n|得取值范围，由△≥0可得到b与mn的关系，进而可得到b的最大与最小值．代入|p|+|q|求解即可．

根据题意，m，n是一元二次方程x²+ax+b=0的两根，所以m+n=-a，mn=b．

∵|m|+|n|≤1，

∴|m+n|≤|m|+|n|≤1，|m-n|≤|m|+|n|≤1．

∵方程x²+ax+b=0的判别式△=a²-4b≥0，

∴b≤

a2

4=

(m+n)2

4≤[1/4]．

4b=4mn=（m+n）²-（m-n）²≥（m+n）²-1≥-1，故b≥−

1

4，等号当且仅当m=-n=[1/2]时成立；

4b=4mn=（m-n）²+（m-n+1）²≤1-（m-n）²≤1，故b≤[1/4]，等号当且仅当m=n=[1/2]时成立．

∴p=[1/4]，q=-[1/4]，

∴|p|+|q|=[1/2]．

故答案为：[1/2]．

点评：

本题考点： 抛物线与x轴的交点；绝对值．

考点点评： 本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，根与系数的关系及根的判别式、绝对值的性质，解答此题的关键是根据根与系数的关系及根的判别式得到关于m、n与b的不等式．