递推公式求通项公式an+1=an^2/(2an-2)

2个回答

  • 当a1 = 0时,用数学归纳法 易证 an = 0;

    当1 > a1 > 0(不等于0) 或 a1 < 0时,易证 a2 < 0,再由数学归纳法易证an < 0

    当a1 > 1时,a(n+1) = an + 1 + 1/[2(an - 1)] = 2 + (an - 1) + 1/(2an-2)

    由数学归纳法易证 an > 1

    综上所述 当a1 不等于0 或1,an均不会等于0或1

    因此 an 不等于0

    当an 0时

    根据不动点可得

    a(n+1) = (an)^2 /(2an - 2) (1)

    a(n+1) - 2 = (an - 2)^2 /(2an - 2) (2)

    因为 an 不等于 0

    所以(2)/(1)存在,

    (2)/(1)得

    (a(n+1) - 2) / a(n+1) = (an - 2)^2 / an^2

    令bn = (an - 2) /an

    则b(n+1) = bn ^2 = b1 ^ (2 ^ n)

    (a(n) - 2) / a(n) = bn = b1 ^ (2 ^ (n-1))

    an = 2/(1- b1 ^(2^(n-1))),其中 b1 = (a1 - 2) / a1

    综上所述 a1 = 1 时,an不存在

    a1 = 0,时an = 0,

    否则an = 2/(1- b1 ^(2^(n-1))),其中 b1 = (a1 - 2) / a1