解题思路：（1）连接CO．先由等腰直角三角形的性质得出CO⊥AB，∠BCO=∠A=45°，CO=AO=[1/2]AB，再利用SAS证明△AOP≌△COQ，则OP=OQ，∠AOP=∠COQ，然后证明∠POQ=∠AOC=90°；
（2）由于△CPQ是直角三角形，根据三角形的面积公式得出S=[1/2]CQ×CP=-[1/2]t2+2t，再利用配方法写成顶点式，根据二次函数的性质即可求出S的最大值；
（3）连接OD、OC．先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD=OD=[1/2]PQ，根据等边对等角得到∠DCO=∠DOC，由等角的余角相等得出∠CEO=∠DOE，则DE=DO=CD，又PD=DQ，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形PEQC是平行四边形，又∠ACB=90°，由矩形的定义判定平行四边形PEQC是矩形；
（4）由DO=DC可知：点D在线段OC的垂直平分线上，其运动路径为CO垂直平分线与AC、BC交点间线段，则点D运动的路径长=[1/2]AB．
（1）证明：如图1，连接CO．
∵Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC=4，点O是AB中点，
∴CO⊥AB，∠BCO=∠A=45°，CO=AO=[1/2]AB．
在△AOP和△COQ中，
AP＝CQ
∠A＝∠QCO
AO＝CO，
∴△AOP≌△COQ（SAS），
∴OP=OQ，∠AOP=∠COQ，
∴∠POQ=∠COQ+∠COP=∠AOP+∠COP=∠AOC=90°，
∴△POQ是等腰直角三角形；
（2）∵AP=CQ=t，
∴CP=AB-AP=4-t，
∴S=[1/2]CQ×CP=[1/2]×t（4-t）=-[1/2]t2+2t=-[1/2]（t-2）2+2，
∴当t=2时，S取得最大值，最大值S=2；
（3）四边形PEQC是矩形．理由如下：
如图2，连接OD、OC．
∵∠PCQ=∠POQ=90°，点D是PQ中点，
∴CD=PD=DQ=[1/2]PQ，OD=PD=DQ=[1/2]PQ，
∴CD=OD，
∴∠DCO=∠DOC，
∵∠CEO+∠DCO=90°，∠DOE+∠DOC=90°，
∴∠CEO=∠DOE，
∴DE=DO，
∴DE=CD，
∵PD=DQ，
∴四边形PEQC是平行四边形，
又∠ACB=90°，
∴四边形PEQC是矩形；
（4）∵DO=DC，
∴点D在线段OC的垂直平分线上，
∴其运动路径为CO的垂直平分线与AC、BC交点之间的线段，即为为Rt△ABC斜边AB的中位线，
∴点D运动的路径长=[1/2]AB=2
2．
点评：
本题考点： 相似形综合题．
考点点评： 本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，二次函数的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定，点的运动轨迹等知识，综合性较强，有一定难度．