Question

对于函数f(x)＝a+22x+1(x∈R)，

Answer 1

解题思路：（1）按取点，作差，变形，判断的过程来即可．

（2）利用奇函数定义域内有0，f（0）=0来求a值；

（3）利用单调性和奇偶性把f（2t+1）+f（t-5）≤0转化为2t+1≥-t+5即可．

（1）证明；设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=[2

2x1+1 -

2

2x2+1=

2x2−2x1

(2x1+1)(2x2+1)

∵y=2^x在实数集上是增函数且函数值恒大于0，故2x2−2x1＞0，2x1+1＞0，2x2+1＞0．

即f（x₁）-f（x₂）＞0．

∴f（x）在R上是单调减函数

（2）由（1）的f（x）在R上是单调减函数，即函数定义域为R，

∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0⇒a=-1．

（3）有（1）（2）可得f（x）在R上是单调减函数且是奇函数

∴f（2t+1）+f（t-5）≤0．转化为f（2t+1）≤-f（t-5）=f（-t+5），⇒2t+1≥-t+5⇒t≥

4/3]

故所求不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0的解集为：{t|t≥[4/3]}．

点评：

本题考点： 函数单调性的判断与证明；奇偶性与单调性的综合．

考点点评： 本题综合考查了函数的单调性和奇偶性．在用定义证明或判断一个函数在某个区间上的单调性时，基本步骤是取点，作差或作商，变形，判断．