1.
第一轮：残剩2、4、6、8.1000 2n
第2轮：残剩 4、8、12、16 1000 4n
第3轮：残剩 8、16、24 1000 8n
第m轮：残剩 2的m次方n
第9轮：残剩512
最后一个是512,他是1000以内2的m次方可取的最大值
2.从极端情况观察入手,设B是胜的次数最多的一个选手,但因B没获全胜,故必有选手A胜B.在败给B的选手中,一定有一个胜A的选手C,否则,A胜的次数就比B多一次了,这与B是胜的次数最多的矛盾.所以,一定能够找到三名选手A,B,C,使得A胜B,B胜C,C胜A.
3.
用逻辑推理,先假设任意两个相邻的方格中所填的数的差都小于或等于4.然后考虑1的位置.1如果在中间,那么它就有四个邻居,而且只能是2、3、4、5.而能与2做邻居的除了这四个只能是6,也就是说2只能有1和6两个邻居,所以2只能在四角的位置.但是1在中间,1的邻居2不可能在四角.以此判断1不可能再中间,它只能在四周.用同样的方法可以推算1也不能在四边上和四角.
4.我们考察表格中填入的所有数的和的奇偶性：第一次“操作”之前,它等于9,是一个奇数,每一次“操作”,要改变一行或一列四个方格的奇偶性,显然整个16格中所有数的和的奇偶性不变.但当每一格中所有数字都变成1时,整个16格中所有数的和是16,为一偶数.故不能通过若干次“操作”使得每一格中的数都变成1.