Question

（2009•黄浦区二模）若数列{an}满足an+2+pan+1+qan=0（其中p2+q2≠0，且p、q为常数）对任意n

Answer 1

（1）答：等差数列{a_n}、等比数列{b_n}（n∈N^*）都是L型数列．

理由　当数列{a_n}（n∈N^*）是等差数列时，有a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，

即a_n+2-2a_n+1+a_n=0，且相应的p=-2，q=1．

所以等差数列{a_n}（n∈N^*）是L型数列．

同样，当数列{b_n}（n∈N^*）是等比数列时，有b_n+2=rb_n+1（r为公比），

即b_n+2-rb_n+1+0•b_n=0，且相应的p=-r，q=0．

所以等比数列{b_n}（n∈N^*）是L型数列．

证（2）∵a_n+1+pa_n+qa_n-1=0（n≥2，n∈N^*，q≠0），x₁、x₂是x²+px+q=0的两实数根，p²-4q＞0，

∴x₁≠x₂，x₁x₂≠0，x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q，a_n+1-（x₁+x₂）a_n+x₁x₂a_n-1=0．

∴a_n+1-x₁a_n=x₂a_n-x₁x₂a_n-1=x₂（a_n-x₁a_n-1）．

又b-ax_i≠0（i=1，2），a₁=a，a₂=b，

∴数列{a_n+1-x₁a_n}（n∈N^*）是以（b-x₁a）为首项，公比为x₂的等比数列．

（同理可证，数列{a_n+1-x₂a_n}（n∈N^*）是等比数列）

（3）此题答案不唯一，只要符合题意就行．

例如：已知L型数列{a_n}满足a_n+1+a_n-2a_n-1=0（n≥2，n∈N^*，），且a₁=1，a₂=2，

求数列{a_n-a_n-1}的通项公式．

∵a_n+1+a_n-2a_n-1=0，

∴a_n+1+a_n=2a_n-1，a_n+1-a_n=2a_n-1-2a_n=-2（a_n-a_n-1）

∴

an+1-an

an-an-1=-2

∴数列{a_n-a_n-1}为等比数列，公比为-2，首项为2-1=1

∴数列{a_n-a_n-1}的通项公式为a_n-2a_n-1=1×（-2）^n-1=（-2）^n-1

1年前

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