解题思路：（1）由BC2=CD•CA，根据三角形相似的判定得到△CBD∽△CAB，根据三角形相似的性质得到∠CBD=∠BAC，而AB为⊙O的直径，根据圆周角定理的推论得∠ADB=90°，易证得∠ABD+∠CBD=90°，根据切线的判定即可得到答案；
（2）由
ED
＝
BD
，根据圆周角定理得∠DAE=∠BAC，由（1）得∠BAC=∠CBD，则∠CBD=∠DAE，根据同弧所对的圆周角相等得∠DAE=∠DBF，所以∠DBF=∠CBD，而∠BDF=90°，根据等腰三角形三线的判定即可得到△BCF为等腰三角形；
（3）由BC2=CD•CA，BC=15，CD=9，可计算出CA=25，根据等腰三角形的性质有BF=BC=15，DF=DC=9，利用勾股定理计算出BD=12，得到AF=7，再根据等积可求出AE=[7×12/15]=[28/5]，然后利用Rt△AEF∽Rt△BDF，通过相似比可计算出EF，则可得到BE，而∠ADE=∠ABE，最后利用三角函数的性质可计算出tan∠ADE的值．
（1）证明：∵BC2=CD•CA，即BC：CA=CD：BC，
而∠C公共，
∴△CBD∽△CAB，
∴∠CBD=∠BAC，
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即∠BAC+∠ABD=90°，
∴∠ABD+∠CBD=90°，即AB⊥BC，
∴BC为⊙O切线；
（2）△BCF为等腰三角形．证明如下：
∵
ED＝
BD，
∴∠DAE=∠BAC，
而△CBD∽△CAB，
∴∠BAC=∠CBD，
∴∠CBD=∠DAE，
而∠DAE=∠DBF，
∴∠DBF=∠CBD，
而∠BDF=90°，
∴△BCF为等腰三角形；
（3）∵BC2=CD•CA，BC=15，CD=9，
∴CA=25，BF=BC=15，DF=DC=9，
∴BD=
152−92=12，
∴AF=25-18=7，
∴S△ABF=[1/2]•AE•BF=[1/2]•AF•BD，
∴AE=[7×12/15]=[28/5]，
易证Rt△AEF∽Rt△BDF，
∴EF：DF=AF：BF，即EF：9=7：15，
∴EF=[21/5]，
∴BE=15+[21/5]=[96/5]，
∵∠ADE=∠ABE，
∴tan∠ADE=tan∠ABE=
28
5
96
5=[7/24]．
点评：
本题考点： 切线的判定与性质；等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
考点点评： 本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理及其推论以及三角形相似的判定与性质．