Question

计算曲线积分∫Lsin2xdx+2（x2-1）ydy，其中L是曲线y=sinx上从点（0，0）到点（π，0）的一段．

Answer 1

解题思路：将曲线积分拆开成

∫

L

sin2xdx−2ydy+

∫

L

2

x

2

ydy

，第一个部分用曲线积分与积分路径无关的条件计算，第二个部分用直接计算法．

令I＝∫Lsin2xdx+2(x2−1)ydy=∫Lsin2xdx−2ydy+∫L2x2ydy=I₁+I₂，

对于I₁，由于P=sin2x，Q=-2y，得P_y=Q_x=0，故I₁与积分路径无关．

取积分路径为从（0，0）到（π，0）的直线段路径，即y=0，0≤x≤π

∴I1＝

∫π0sin2xdx＝0．

对于I₂，

I2＝∫L2x2ydy＝

∫π02x2sinxcosdx=

∫π0x2sin2xdx

=−

x2cos2x

2

|π0+

∫π0xcos2xdx

=−

π2

2+

xsin2x

2

|π0−

∫π0

sin2x

2dx

=−

π2

2

故I＝−

π2

2

点评：

本题考点： 格林公式及其应用；第二类曲线积分的计算．

考点点评： 此题也可以添加曲线，用格林公式转化为二重积分计算．