如图:在△ABC中,∠A=α,△ABC的内角或外角平分线交于点P,且∠P=β,试探求图1,2,3中α与β的关系,并选择你

1个回答

  • 解题思路:(1)可以把∠A=α,作为已知,求∠P即可.根据三角形内角和定理以及外角的性质即可求解;

    (2)(3)解法相同.

    (1)β=90°+[1/2]α;(2)β=[1/2]α;(3)β=90°-[1/2]α.

    下面选择(1)进行证明.

    在图(1)中,根据三角形内角和定理可得:∠ABC+∠ACB=180°-∠A.

    ∵BP与CP是△ABC的角平分线,

    ∴∠PBC=[1/2]∠ABC,∠PCB=[1/2]∠ACB,

    ∴∠PBC+∠PCB=[1/2](∠ABC+∠ACB)=90°-[1/2]α.

    在△PBC中,∠BPC=180°-(∠PCB+∠PCB)=180°-(90°-[1/2]α)=90°+[1/2]α.

    ∴β=90°+[1/2]α.图(2),结论:∠BPC=[1/2]∠A.

    证明如下:

    ∠P=∠1-∠2=[1/2](∠ACD-∠ABC)=[1/2]∠A.

    ∴β=[1/2]α;

    (3)∵BP、CP分别是△ABC两个外角∠CBD和∠BCE的平分线,

    ∴∠CBP=[1/2](∠A+∠ACB),∠BCP=[1/2](∠A+∠ABC),

    ∴∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP=180°-∠A-[1/2](∠ABC+∠ACB),

    ∴∠P与∠A的关系是:∠P=180°-∠A-[1/2](∠ABC+∠ACB)=90°-[1/2]α,

    即β=90°-[1/2]α.

    点评:

    本题考点: 三角形的外角性质;三角形内角和定理.

    考点点评: 本题主要考查了三角形的内角和定理以及三角形的角平分线的定义.