已知F1、F2分别是双曲线x23−y26=1的左右焦点,过右焦点F2作倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点.

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  • 解题思路:(Ⅰ)确定直线AB的方程,代入双曲线方程,求出A,B的坐标,即可求线段AB的长;

    (Ⅱ)利用双曲线的定义,即可求△AF1B的周长.

    (Ⅰ)由双曲线的方程得F1(-3,0),F2(3,0),直线AB的方程为y=

    3

    3(x-3)①(2分)

    将其代入双曲线方程消去y得,5x2+6x-27=0,解之得x1=-3,x2=

    9

    5.(4分)

    将x1,x2代入①,得y1=-2

    3,y2=-

    2

    3

    5,故A(-3,-2

    3),B(

    9

    5,-

    2

    3

    5),

    故|AB|=

    16

    5

    3.(8分)

    (Ⅱ)周长=|AB|+|AF1|+|BF1|=8

    3.(12分)

    点评:

    本题考点: 直线与圆锥曲线的关系;双曲线的简单性质.

    考点点评: 本题考查直线与双曲线的位置关系,考查双曲线的定义,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.