看了两题的解法均是完全正确的,解法一虽用自然数来代替实数进行运算,推广到实数是可以的,但是两种完全正确的解法却得到了互相矛盾的结论,如何来解释这种现象呢?
实际上这并不奇怪,在数学上我们经常用这种方法来证明一个论断或命题不真.如有一个命题A,该命题为真的情况下推出互相矛盾的命题,或者说命题A蕴含了一个矛盾,则命题A为假,也即命题A蕴含命题B,命题A蕴含命题非B,则命题A为假.逻辑学中有这样一个结论,假命题可导出任意命题.
对于该题的分析,设命题A：存在函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+2y(x+y),然后我们利用了正确的推导得出了两个互相矛盾的命题,由此可得“存在函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+2y(x+ y)”是不真的,实际上该函数条件中已明显蕴含了矛盾,已有人看出当x=1,y=-1代入条件式f(x+y)=f(x)+2y(x+ y)得,f(0)=f(1),再将x=0 y=1代入条件式又得f(1)=f(0)+2,于是得到0=2的结果,这显然得出了错误的结果.题中所给的函数是不存在的,该题的前提已蕴含了矛盾,由此得出两种不同的结果是毫不奇怪的,还有可能,利用正确的推导得到第3种,第4种等等结果.
总之,该题条件矛盾,如果将该题改为这样:证明不存在对任意实数x,y满足条件f(x+y)=f(x)+2y(x+y)的函数,假设该函数存在,由此得出的两种矛盾的结果恰好反证了该函数不存在.