（Ⅰ）先对函数求导,然后由由已知f'（2）=1,可求a
（II）先求函数f（x）的定义域为（0,+∞）,要判断函数的单调区间,需要判断导数f′(x)＝2x+2ax＝2x2+2ax
的正负,分类讨论：分（1）当a≥0时,（2）当a＜0时两种情况分别求解
（II）由g（x）可求得g′（x）,由已知函数g（x）为[1,2]上的单调减函数,可知g'（x）≤0在[1,2]上恒成立,即a≤1x−x2在[1,2]上恒成立,要求a的范围,只要求解h(x)＝1x−x2,在[1,2]上的最小值即可（Ⅰ）f′(x)＝2x+2ax＝2x2+2ax…（1分）
由已知f'（2）=1,解得a=-3．…（3分）
（II）函数f（x）的定义域为（0,+∞）．
（1）当a≥0时,f'（x）＞0,f（x）的单调递增区间为（0,+∞）； …（5分）
（2）当a＜0时f′(x)＝2(x+−a)(x−−a)x．
当x变化时,f'（x）,f（x）的变化情况如下：
x(0,−a)−a(−a,+∞)f'（x）-0+f（x）极小值由上表可知,函数f（x）的单调递减区间是(0,−a)；
单调递增区间是(−a,+∞)．…（8分）
（III）由g(x)＝2x+x2+2alnx得g′(x)＝−2x2+2x+2ax,…（9分）
由已知函数g（x）为[1,2]上的单调减函数,
则g'（x）≤0在[1,2]上恒成立,
即−2x2+2x+2ax≤0在[1,2]上恒成立．
即a≤1x−x2在[1,2]上恒成立．…（11分）
令h(x)＝1x−x2,在[1,2]上h′(x)＝−1x2−2x＝−(1x2+2x)＜0,
所以h（x）在[1,2]为减函数.h(x) min＝h(2)＝−72,
所以a≤−72．…