Question

如图,在三棱锥P－ABC中,AB⊥BC,AB＝BC＝kPA,点O、D分别是AC、PC的中点,OP⊥底面ABC（1）若K=

Answer 1

AB⊥BC,O是AC的中点,

∴OA=OC=OB,

OP⊥底面ABC,

∴PA=PB=PC,

AB=BC,

以OA,OB,OP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设A(1,0,0),B(0,1,0),P(0,0,p),则C(-1,0,0),PC中点D(-1/2,0,p/2),

∴向量PA=(1,0,-p),BD=(-1/2,-1,p/2),

(1)由AB=PA得2=1+p^2,p^2=1,

向量PA*BD=-1/2-p^2/2=-1,

|PA|=√2,|BD|=√(3/2),

直线PA与BD所成角的余弦值=1/[√2*√(3/2)]=√3/3.

（2）平面OPC的法向量是OB=(0,1,0),

设平面PBC的法向量为(m,n,1),则

PB*(m,n,1)=(0,1,-p)*(m,n,1)=n-p=0,

BC*(m,n,1)=(-1,-1,0)*(m,n,1)=-m-n=0,

∴m=-n=-p,

二面角O-PC-B的大小为π/3,

向量(0,1,0)*(-p,p,1)=p=(1/2)√(1+2p^2),

∴2p=√(1+2p^2),

4p^2=1+2p^2,

p^2=1/2,

∴k=AB/PA=√2/√(1+p^2)=2√3/3.