Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+b+c）（sinA+sinB-sinC）=3asinB，则C=

Answer 1

解题思路：利用正弦定理求出A+B的余弦函数值，得到C的值即可．

由正弦定理可知（sinA+sinB+sinC）（sinA+sinB-sinC）=3sinAsinB

⇒（sinA+sinB）²-sin²C=3sinAsinB，

⇒sin²A+2sinAsinB+sin²B-sin²（A+B）=3sinAsinB，

⇒sin²A+sin²B-（sinAcosB+cosAsinB）²=sinAsinB，

⇒sin²A+sin²B-sin²A•cos²B-2sinAcosBcosAsinB-cos²A•sin²B=sinAsinB

⇒2sin²Asin²B-2sinAcosBsinBcosA=sinAsinB，

⇒cosAcosB-sinAsinB=-[1/2]，

∴cos（A+B）=-[1/2]，

∴A+B=[2π/3]，

所以C=π-（A+B）=[π/3]

故答案为：[π/3]．

点评：

本题考点： 余弦定理；正弦定理．

考点点评： 本题考查正弦定理的应用，两角和与差的余弦函数的求法，注意解得范围，考查计算能力，另外利用正弦定理将条件中的角的正弦化为相应的边，再结合余弦定理求∠C更简单．