Question

在△ABC中，求证：（1）sin2A+sin2B-sin2C=2sinAsinBcosC；（2）sinA+sinB-si

Answer 1

解题思路：（1）△ABC中，利用余弦定理可得a²+b²-c²=2ab•cosC．再利用正弦定理可得sin²A+sin²B-sin²C=2sinAsinBcosC，可得要证的等式成立．

（2）利用三角函数的恒等变换化简等式右边，结果正好等于等式的左边，可得要证的等式成立．

（1）证明：△ABC中，利用余弦定理可得cosC=

a2+b2−c2

2ab，

即a²+b²-c²=2ab•cosC．

再利用正弦定理可得sin²A+sin²B-sin²C=2sinAsinBcosC，

∴要证的等式成立．

（2）△ABC中，∵等式右边=4sin[A/2]sin[B/2]cos[C/2]=4sin[A/2]sin[B/2]cos[π−A−B/2]

=4sin[A/2]sin[B/2]sin[A+B/2]=4sin[A/2]sin[B/2]（sin[A/2]cos[B/2]+cos[A/2]sin[B/2]）

=2sin2

A

2sinB+2sinAsin2

B

2=（1-cosA）sinB+sinA（1-cosB）

=sinB+sinA-（sinBcosA+cosBsinA）=sinA+sinB-sin（A+B）

=sinA+sinB-sinC=左边，

∴要证的等式成立．

点评：

本题考点： 三角函数的化简求值．

考点点评： 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，三角函数的恒等变换及化简求值，属于中档题．