Question

求证双曲线x^2-y^2=r^2上的任意一点p到两个焦点的距离之积等於p至双曲线的中心之距离的平方

Answer 1

设左焦点为F1,右焦点为F2,双曲线的中心为O(坐标轴原点),则a＝r,b＝r,c＝根号(2)r

在△PF1F2中,OP为F1F2的中线,由中线定理得：

PF1^2＋PF2^2＝2OP^2＋2OF1^2＝2OP^2＋4r^2 ①

又由双曲线的定义知：

|PF1－PF2|＝2r

(PF1－PF2)^2＝4r^2

PF1^2＋PF2^2－2PF1·PF2＝4r^2 ②

把①代入②得：

2OP^2＋4r^2－2PF1·PF2＝4r^2

化简即得结论：

PF1·PF2＝OP^2