Question

写出函数f(x)=1/x在x0=1处带拉格朗日余项的n阶泰勒公式

Answer 1

令t=x-1,则有x=t+1,展开为x0=1处的泰勒公式即相当于展开为t的公式：

f(x)=1/x=1/(1+t)=1-t+t^2-t^3+t^4-...+(-1)^n t^n+ R(n)t^(n+1)

f^(n)(t)=(-1)^n *n!/(1+t)^(n+1)

f^(ζ)=(-1)^n*n!/(1+ζ)^(n+1)

R(n)=(-1)^n/(1+ζ)^(n+1)