Question

正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC中点 1.求A-A1D-B余弦值2.求点C1到平面A1BD的距离

Answer 1

1. (用面积投影定理)取:AC的中点E,连接BE,知:BE垂直于AC.又AA1垂直于平面ABC,故AA1垂直于BE.(垂直于平面,就垂直于平面上的任何直线)即推出:BE垂直于平面ACC1A1.(垂直于平面上的两相交直线,就垂直于这平面)即E点是B点在平面ACC1A1上的投影.连接A1E,DE. 知三角形EA1D是三角形BA1D在平面ACC1A1上的投影.三角形EA1D的面积S=2*2 - 2*(1/2)*1*2 - (1/2)*1*1 = 3/2.下面求三角形BA1D的面积.A1D=BD= 根号5,A1B = 2根号2, 由余弦定理,得cos角BA1D= [8+5-5]/[2*2(根号2)*(根号5)]= (根号10)/5.sin角BA1D = (根号15)/5.故三角形BA1D的面积为A=(1/2)*(2根号2)(根号5)*(根号15)/5 =根号6.设二面角A-A1D-B的平面角为α,由投影定理知A*cosα=S.即cosα= S/A =(3/2) /根号6 ＝（根号6）/4.即二面角A-A1D-B的余弦为：（根号6）/4. 2.求点C1到A1BD的距离.四面体A1BDC1,以三角形A1DC1为底,其高为：BE=根号3.故其体积为V＝（1/3）*(1/2)(2*1)*根号3 ＝（根号3）/3.再以三角形A1BD为底,设其高这H .则H即为点C1到平面A1BD的距离.则有： （根号3)/3 = (1/3)(根号6)*H.求得H＝（根号2）/2.即C1到平面A1BD的距离为：H＝（根号2）/2.