Question

问道关于正余弦定理应用的题目在△ABC中,若a³cosB=b³cosA,则△ABC的形状是_____________.

Answer 1

用a^2表示a的平方了.

由余弦定理：cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac),cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)

所以所给条件化为：

a^3*(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=b^3*(b^2+c^2-a^2)/(2bc)

两边约分并化简可得：a^2(a^2+c^2-b^2)=b^2(b^2+c^2-a^2)

两边展开并消去a^2*b^2项可得：

a^4+a^2*c^2=b^4+b^2*c^2.于是

(a^4-b^4)+(a^2*c^2-b^2*c^2)

=(a^2+b^2)(a^2-b^2)+c^2(a^2-b^2)

=(a^2-b^2)(a^2+b^2+c^2）

=0

从而必有 a^2=b^2,三角形ABC是等腰三角形,且 AC=BC.