Question

设A,B为锐角,且sin^2 A+sin^2 B=sin(A+B),求证A+B＝90

Answer 1

将锐角A,B看作三角形的内角 角C=180-A-B

有正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r

于是 sinA=a/r sinB=b/r sinC=c/r sin(A+B) =sinC

代入上式 有 a^2/r^2+ b^2/r^2= c^2/r^2

即 a^2+b^2=c^2

这个三角形即直角三角形 所以A+B＝90

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本来以为只有20分,不想自己动力,看来你是在学习上向来较真的人,下面给出另一证法

sin²A+sin²B=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA

sinAsinA-sinAcosB=sinBcosA-sinBsinB

sinA(sinA-cosB)=sinB(cosA-sinB)

若A+B>90,则A>90-B

sinA>sin(90-B)=cosB,sinA-cosB>0

cosA0,上面的等式显然不能成立

若A+B