Question

设A为n阶可逆矩阵,P为n阶矩阵,A+P,A-P,均可逆,证X=(A+P)(A-P)-1,Y=(A+P)-1(A-P)为

Answer 1

这个直接乘出来验证就行了,不过你既然问了大概是不知道这里的技术.

先验证简单一点的,即 A=I 的情形,此时 (I+P),(I-P),(I+P)^{-1},(I-P)^{-1} 都是 P 的有理函数,其乘法两两可交换(自己动手验证一下).

然后对于一般的情况,利用 A 可逆的条件强行把因子 A 提出来:P = AU,其中 U = A^{-1}P.

接下来

(A+P) (A-P)^{-1} A (A+P)^{-1} (A-P)

= [A(I+U)] [A(I-U)]^{-1} A [A(I+U)]^{-1} [A(I-U)]

= A (I+U) (I-U)^{-1} A^{-1} A (I+U)^{-1} A^{-1} A (I-U)

= A (I+U) (I-U)^{-1} (I+U)^{-1} (I-U)

= A.