Question

已知函数f（x）的定义域为R，对于任意的x∈R，都满足f（-x）=f（x），且对于任意的a，b∈（-∞，0]，当a≠b时

Answer 1

解题思路：由题意可得函数f（x）为偶函数，在（-∞，0]上是减函数，从而函数在[0，+∞）上是增函数，

故由不等式可得|m+1|＜2，由此求得m的范围．

由f（-x）=f（x），可得函数f（x）为偶函数，∴f（|x|）=f（x），

再根据对任意的a，b∈（-∞，0]，当a≠b时，都有

f(a)−f(b)

a−b＜0，

故函数在（-∞，0]上是减函数，∴函数在[0，+∞）上是增函数，

故由f（m+1）＜f（2），

∴f（|m+1|）＜2

∴|m+1|＜2

可得-2＜m+1＜2，解得-3＜m＜1，

故答案为：（-3，1）．

点评：

本题考点： 抽象函数及其应用；函数单调性的性质．

考点点评： 本题主要考查函数的单调性和奇偶性，得到|m+1|＜2是解题的关键，属于中档题．