Question

已知数列{an}满足：a1+3a2+…+（2n-1）an=（2n-3）•2n+1，数列{bn}的前n项和Sn=2n2+n

Answer 1

解题思路：当n≥2时，

(2n−1)•

a

n

＝(2n−3)•

2

n+1

-（2n-5）•2ⁿ=2ⁿ（2n-1），所以

a

n

＝

2

n

．由a₁=-4，求出a_n；当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=4n-1，由b₁=1，求出b_n．由此能求出

W

n

＝

2

n+1

(4n−5)

．

当n≥2时，(2n-1)•an=(2n-3)•2n+1-（2n-5）•2ⁿ=2ⁿ（2n-1），

∴an=2n．

∵a₁=-4，∴an=

-4，n=1

2n，n≥2，

当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=4n-1，

∵b₁=1，∴bn=

1，n=1

4n-1，n≥2．

①Wn=-4+[22×7+23×11+…+2n×(4n-1)]，

记s=2²×7+2³×11+2⁴×15+…+2ⁿ×（4n-1），

∴2s=2³×7+2⁴×11+…+2ⁿ（4n-5）+2ⁿ⁺¹（4n-1）②，

①-②得-s=28+4（2³+2⁴+…+2ⁿ）-2ⁿ⁺¹（4n-1）

=28+32（2^n-2-1）-2ⁿ⁺¹（4n-1）

=-4+2ⁿ⁺¹（5-4n），

∴s=4+2ⁿ⁺¹（4n-5），

∴Wn=2n+1(4n-5)．

点评：

本题考点： 数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．

考点点评： 本题考查数列通项公式的求法和数列求和的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．解题时要认真审题，先分别求出数列{an}和{bn}的通项公式，再求数列{an•bn}的前n项和，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．