1.
在三角形AOB与三角形AOC中分别对边AB,AC运用余弦定理：
AC^=OA^+OC^-2*OA*OC*cos∠AOC
AB^=OA^+OB^-2*OA*OB*cos∠AOB
两式相加可得：
AC^+AB^=2OA^+OC^+OB^-2OA*(OC*cos∠AOC+OB*cos∠AOB)
因为AO是BC上的中线,所以OC=OB,且在可看出∠AOC+∠AOB=180度,于是有
cos∠AOC=-cos∠AOB
把以上两个条件代入上式,可得到：
AC^+AB^=2(OA^+OC^)
得证
2.平行四边形已知的两边共有的顶点A必是直线x+y-1=0与3x-y+4=0的交点,可求出此A点位（-3/4,7/4）
设平行四边形位于直线x+y-1=0上的边是AB,故AB的斜率kAB=-1,位于直线3x-y+4=0上的边是AD,斜率kAD=3,则需要求的是CD,BC两边的方程
由平行四边形对角线互相平分这个性质可知：M为AC中点,由坐标的中点公式,可求出C点的坐标为(2*3-(-3/4),2*3-7/4),（27/4,17/4）
由平行四边形可知,AB‖CD,AD‖BC,故kCD=kAB=-1,kBC=kAD=3
如此,根据点斜式,可分别求出BC与CD的方程为：
y=3x+16,y=-x+11
3.设在坐标平面xoy中,有三个点A,B,M,它们的坐标分别是A(a,b),B(c,d),M(p,q)
因为a,b,c,d,p,q都是任意实数,所以A,B,M三点在坐标系中的位置任意
则原要求证明的不等式中：
√(a-p)^2+(b-q)^2 项表示AM的长度
√(c-p)^2+(d-q)^2 项表示BM的长度
√(a-c)^2+(b-d)^2 项表示AB的长度
则原不等式的命题等价于AM+BM≥AB
因为A,B,M在坐标系上的位置任意,故可分两种情况分析：
当A,B,M共线时,无疑,此时AB,BM,AM三条线段中其中一条的长度是另外两条长度的和,当AB=AM+BM时,无疑原不等式中的“=”成立；当另外两种情况AM=AB+BM,BM=AB+AM发生时,此时的AB边一定不是三边中最长的,故它更一定小于另外两边之和,也就是原不等式中的“>”号成立
当A,B,M三点不共线时,则它们能够构成三角形ABM,AB,AM,BM分别为此三角形的三边,根据“三角形其中两边的和大于第三边”的定理,可得AM+BM>AB
由此,分类完毕,得证