解题思路:(Ⅰ)确定两圆心分别为C1(0,-4)、C2(0,2),由题意得CC1=CC2,从而可求圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线方程;
(Ⅱ)因为m=n,所以M(x,y)到直线y=-1的距离与到点F(0,1)的距离相等,故点M的轨迹Q是以y=-1为准线,点F(0,1)为焦点,顶点在原点的抛物线,从而可得轨迹Q的方程;
(Ⅲ)设出切线方程,求出切线与两坐标轴围成的三角形的面积,利用S=[1/2],即可求得结论.
(Ⅰ)两圆半径都为1,两圆心分别为C1(0,-4)、C2(0,2),
由题意得CC1=CC2,可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线,C1C2的中点为(0,-1),直线C1C2的斜率等于零,故圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线方程为y=-1,即圆C的圆心轨迹L的方程为y=-1.(4分)
(Ⅱ)因为m=n,所以M(x,y)到直线y=-1的距离与到点F(0,1)的距离相等,
故点M的轨迹Q是以y=-1为准线,点F(0,1)为焦点,顶点在原点的抛物线,
∴[p/2]=1,即p=2,所以,轨迹Q的方程是x2=4y; (8分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)得y=
1
4x2,y′=
1
2x,所以过点B的切线的斜率为k=
1
2x1,
设切线方程为y−y1=
1
2x1(x−x1),
令x=0得y=−
1
2x12+y1,令y=0得x=−
2y1
x1+x1,
因为点B在x2=4y上,所以y1=
1
4x12,
所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S=[1/2]|
1
4x12||
1
2x1|=
1
16|x13|
设S=[1/2],即
1
16|x13|=
1
2得|x1|=2,所以x1=±2
当x1=2时,y1=1,当x1=-2时,y1=1,所以点B的坐标为(2,1)或(-2,1).(14分)
点评:
本题考点: 直线和圆的方程的应用;圆与圆的位置关系及其判定.
考点点评: 本题考查轨迹方程,考查抛物线的定义,考查切线方程,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.