解题思路：（1）根据函数奇偶性的定义即可试判断f（x）的奇偶性，并写出其单调增区间；
（2）将不等式f[
lo
g
2
(
4
x
+16)
]+f（t-x）＞0恒成立，结合函数的奇偶性和单调性，求t的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）=x恰有一根，建立条件关系即可求实数k的取值范围．
（1）∵函数的定义域为R，
∴f（-x）=-
kx
|x|+1=-f（x），k＞0．
即f（x）是奇函数，
当x=0时，f（0）=0，
当x＞0时，f（x）=
kx/x+1]=
k(x+1)−k
x+1＝k−
k
x+1，此时函数单调递增，且此时f（x）＞0，
当x＜0时，f（x）=[kx
|x|+1=
kx/−x+1＝
k(x−1)+k
−(x−1)＝−k−
k
x−1]，此时函数单调递增，且f（x）＜0，
综上函数在R上单调递增，即函数的单调递增区间为（-∞，+∞）．
（2）∵f[log2(4x+16)]+f（t-x）＞0，
∴f[log2(4x+16)]＞-f（t-x）=f（x-t），
∵函数在R上单调递增，
∴不等式恒成立等价为[log2(4x+16)＞x-t，
即4x+16＞2x-t=2x•2-t恒成立，
即2t＞
2x
4x+16=[1
2x+
16
2x恒成立．
∵g（x）=
1
2x+
16
2x≤
1
2
2x•
16
2x＝
1
2
16＝
1/8]，
当且仅当2x＝
16
2x，即2x=4，x=2时取等号，
∴2t＞
1
8＝2−3，
∴t＞-3，
即t的取值范围是t＞-3；
（3）由f（x）=
kx
|x|+1=x，k＞0．
即x（
k
|x|+1−1）=0，
若关于x的方程f（x）=x恰有一根，
则
k
|x|+1−1≠0，即y=k与y=1+|x|没有公共点，
即0＜k＜1，即实数k的取值范围是0＜k＜1．
点评：
本题考点： 函数奇偶性的判断；函数恒成立问题．
考点点评： 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，以及不等式恒成立问题，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．