Question

已知数列{an}满足a1=1，an=logn（n+1）（n≥2，n∈N*）．定义：使乘积a1•a2•…•ak为正整数的k

Answer 1

解题思路：先利用换底公式与叠乘法把a₁•a₂•a₃…a_k化为log₂（k+1）；然后根据a₁•a₂•a₃…a_k为整数，可得k=2ⁿ-1；最后由等比数列前n项和公式解决问题．

a_n=log_n（n+1）=

log2(n+1)

log2n，（n≥2，n∈N^*），

∴a₁•a₂•a₃…a_k=1×

log23

log22×

log24

log23×

log25

log24×…×

log2(k+1)

log2k=log₂（k+1），

又∵a₁•a₂•a₃…a_k为整数，

∴k+1必须是2的n次幂（n∈N^*），即k=2ⁿ-1．

∴k∈[1，2012]内所有的“简易数”的和：

M=（2¹-1）+（2²-1）+（2³-1）+（2⁴-1）+…+（2¹⁰-1）

=

2(1−210)

1−2-10=2036，

故答案为：2036．

点评：

本题考点： 等差数列与等比数列的综合．

考点点评： 本题在理解新定义的基础上，考查换底公式、叠乘法及等比数列前n项和公式，其综合性、技巧性是比较强的．