解题思路：（1）先根据SAA定理得出△ABM≌△BCN，故可得出∠1=∠2，再由∠BQM=∠AQN，∠AQN是△ABQ的外角即可得出结论；
（2）①根据ASA定理得出△ABM≌△BCN，由全等三角形的性质即可得出结论；
②同①可证△ABN≌△CAM，由全等三角形的性质即可得出结论；
③同①可得△ABM≌△BCN（SAS）故∠1=∠2，再由∠BQM=∠1+∠3=∠2+∠3=∠ABM=90°即可得出结论．
（1）证明：∵△ABC是正三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
在△ABM与△BCN中，
AB＝BC
∠ABC＝∠C
BM＝CN，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠1=∠2，
∵∠BQM=∠AQN，∠AQN是△ABQ的外角，
∴∠BQM=∠AQN=∠1+∠3=∠2+∠3=∠ABC=60°，
∴∠BQM=60°；
（2）①仍为真命题；
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
∵∠BQM=∠AQN=60°，
∴∠1+∠3=60°，
∵∠3+∠2=60°，
∴∠1=∠2，
在△ABM与△BCN中，
∠1＝∠2
AB＝BC
∠ABC＝∠C，
∴△ABM≌△BCN（ASA），
∴BM=CN；
②如图2所示，
同①可证△ABN≌△CAM，
∴∠N=∠M，
∵∠NAQ=∠CAM，
∴∠BQM=∠ACB=60°，
∴仍能得到∠BQM=60°；
③不能得到∠BQM=60°，当正△ABC换成正方形ABCD时，∠BQM=90°，
如图3所示，同①可得△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠1=∠2，
∵∠BQM=∠1+∠3=∠2+∠3=∠ABM=90°，即∠BQM=90°．
点评：
本题考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质．
考点点评： 本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知等边三角形及正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识是解答此题的关键．