解题思路：（1）要证三角形ABM和MCN相似，就需找出两组对应相等的角，已知了这两个三角形中一组对应角为直角，而∠BAM和∠NMC都是∠AMB的余角，因此这两个角也相等，据此可得出两三角形相似．
（2）根据（1）的相似三角形，可得出AB，BM，MC，NC的比例关系式，已知了AB=4，BM=x，可用BC和BM的长表示出CM，然后根据比例关系式求出CN的表达式．这样直角梯形的上下底和高都已得出，可根据梯形的面积公式得出关于y，x的函数关系式．然后可根据函数的性质得出y的最大值即四边形ABCN的面积的最大值，以及此时对应的x的值，也就可得出BM的长．
（3）已知了这两个三角形中相等的对应角是∠ABM和∠AMN，如果要想使Rt△ABM∽Rt△AMN，那么两组直角边就应该对应成比例，即[AM/MN＝
AB
BM]，根据（1）的相似三角形可得出[AM/MN
＝
AB
MC]，因此BM=MC，M是BC的中点．即x=2．
（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=4，∠B=∠C=90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠CMN+∠AMB=90°．
在Rt△ABM中，∠MAB+∠AMB=90°，
∴∠CMN=∠MAB，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN．
（2）∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴[AB/MC＝
BM
CN]，即[4/4−x＝
x
CN]，
∴CN＝
−x2+4x
4，
∴y=S梯形ABCN=[1/2]（
−x2+4x
4+4）•4
=-[1/2]x2+2x+8
=-[1/2]（x-2）2+10，
∴当点M运动到离B点的长度为2时，y取最大值，最大值为10．
（3）∵∠B=∠AMN=90°，
∴要使△ABM∽△AMN，必须有[AB/AM＝
BM
MN]，
由（1）知[AM/MN＝
AB
MC]，
∴[AB/BM]=[AB/MC]，
∴BM=MC，
∴当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时x=2．
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题主要考查了相似三角形的判定和性质以及二次函数的综合应用，根据相似三角形得出与所求的条件相关的线段成比例是解题的关键．
1年前
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