Question

已知a b不等于0,求证a +b =1 的充要条件是a的3次方+b的3次方+ab-a的平方-b的平方=

Answer 1

证：

充分性.

a^3+b^3+ab-a^2-b^2=(a+b)(a^2+b^2-ab)+(ab-a^2-b^2)

=(a+b-1)(a^2+b^2-ab)

=0

a^2+b^2-ab=a^2-ab+1/4b^2+3/4b^2恒大于等于0.

所以a+b-1=0

a+b=1

必要性.

a+b=1

a+b-1=0

所以a^3+b^3+ab-a^2-b^2=(a+b)(a^2+b^2-ab)+(ab-a^2-b^2)

=(a+b-1)(a^2+b^2-ab)

=0