Question

已知函数f（x）=ax+b，当x∈[a 1 ，b 1 ]时，f（x）的值域为[a 2 ，b 2 ]，当x∈[a 2 ，b

Answer 1

（I）∵a=1，∴函数f（x）=ax+b在R上是增函数，

∴a _n=a•a _n-1+b=a _n-1+b，b _n=a•b _n-1+b=b _n-1+b，（n≥2），

则数列{a _n}与{b _n}都是公差为b的等差数列，

∵a ₁=0，b ₁=1，∴a _n=（n-1）b，b _n=1+（n-1）b．

（Ⅱ）∵a＞0，b _n=a•b _n-1+b，

∴

b n

b n-1 =a+

b

b n-1 ；

由{b _n}是等比数列，知

b

b n-1 应为常数．

{b _n}是公比不为1的等比数列，则b _n-1不是常数，

必有b=0．

（Ⅲ）∵a＞0，a _n=a•a _n-1+b，b _n=a•b _n-1+b，

两式相减，得b _n-a _n=a（b _n-1-a _n-1），

∴{b _n-a _n}成等比数列，公比为a，b ₁-a ₁=1，

∴b _n-a _n=a ^n-1．

T _n-S _n=（b ₁+b ₂+…+b _n）-（a ₁+a ₂+…+a _n）=（b ₁-a ₁）+（b ₂-a ₂）+…+（b _n-a _n）=

n(a=1)

1- a n

1-a (a＞0，a≠1)

∴（T ₁+T ₁+…+T _n）-（S ₁+S ₂+…+S _n）=（T ₁-S ₁）+（T ₂-S ₂）+…+（T _n-S _n）=

n(n+1)

2 (a=1)

a n+1 -(n+1)a+n

(1-a) 2 (a≠1)