解题思路：由在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点F，与BD⊥BF，EC⊥CF，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，易求得∠D+∠E=∠A；
由DG⊥BF，可得G=90°-∠E=90°-[1/2]∠A，由∠BFC=180°-（∠CBF+∠BCF）=180°-[1/2]（∠ABC+∠ACB）=180°-（90°-[1/2]∠A）=90°+[1/2]∠A，即可证得∠BFC-∠G=∠A；
根据角平分线的定义与三角形内角和定理，易证得∠BCA+∠A=2∠ABD；
然后证得△DBC∽△ABG，由相似三角形的对应边成比例，即可证得AB•BC=BD•BG．
∵在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点F，
∴∠ABF=∠CBF=[1/2]∠ABC，∠ACF=∠BCF=[1/2]∠ACB，
∵∠BFD=∠CFE=∠CBF+∠BCF=[1/2]（∠ABC+∠ACB）=[1/2]（180°-∠A）=90°-[1/2]∠A，
∵BD⊥BF，EC⊥CF，
∴∠D=90°-∠BFD=[1/2]∠A，∠E=90°-∠CFE=[1/2]∠A，
∴∠D+∠E=∠A；
故①正确；
∵DG⊥BF，
∴∠FBG=90°，
∴∠G=90°-∠E=90°-[1/2]∠A，
∵∠BFC=180°-（∠CBF+∠BCF）=180°-[1/2]（∠ABC+∠ACB）=180°-（90°-[1/2]∠A）=90°+[1/2]∠A，
∴∠BFC-∠G=（90°+[1/2]∠A）-（90°-[1/2]∠A）=∠A；
故②正确；
∵DG⊥BF，
∴∠ABD=90°-∠ABF，
∵BF是△ABC的角平分线，
∴∠ABC=2∠ABF，
∴2∠ABD=180°-2∠ABF=180°-∠ABC，
∵∠BCA+∠A=180°-∠ABC，
∴∠BCA+∠A=2∠ABD；
故③正确；
连接AG，
∵在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点F，
∴AF是∠BAC的平分线，
∴∠AFB=180°-（∠BAF+∠ABF）=180°-[1/2]（∠BAC+∠ABC）=180°-[1/2]（180°-∠ACB）=90°+[1/2]∠ACB①，
∵BF⊥DG，CF⊥EC，
∴∠FBG=∠FCG=90°，
∴∠FBG+∠FCG=180°，
∴点B，G，C，F共圆，
∴∠BFG=∠BCG=90°-∠FCB=90°-[1/2]∠ACB②，
∴由①②可得：∠AFB+∠BFG=180°，
∴A，F，G共线，
∵∠BAF=∠D=[1/2]∠BAC，∠DBC=90°+∠CBF，∠ABG=90°+∠ABF，
∴∠DBC=∠ABG，
∴△DBC∽△ABG，
∴BD：AB=BC：BG，
∴AB•BC=BD•BG．
故④正确．
故选D．
点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；三角形的角平分线、中线和高；多边形内角与外角．
考点点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、直角三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．